发布日期: 2020-04-28

傅里叶级数和傅里叶变换

从正交说起

首先函数正交的定义为$\int_{x_1}^{x_2}f(x)g(x)=0$，而对于三角函数系$\{1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\cos 2x,\sin nx,\cos nx \cdots\}$,其中任意两个不同的函数在$[-\pi,\pi ]$上正交。下面做几个简单的证明，由积化和差可知:
\begin{align}
&\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \cos mx dx \\
&=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left[\sin (n+m)x+\cos (n-m)x\right]dx \\
&=\frac{1}{2}\left.\left[-\frac{\cos (n+m)x} {n+m}+\frac{\sin (n-m)x} {n-m}\right] \right|_{-\pi}^{\pi} \\
&=0 \\
&\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mxdx \\
&=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\left[\cos (n+m)x+\cos (n-m)x\right]dx \\
&=\frac{1}{2}\left.\left[\frac{\sin (n+m)x} {n+m}+\frac{\sin (n-m)x} {n-m}\right]\right|_{-\pi}^{\pi} \\
&=0 (n\not=m)
\end{align}
但在三角函数系中两个相同的函数的乘积在$[-\pi,\pi ]$上积分不为0
\begin{align}
&\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot 1=2\pi \\
&\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx \cdot \sin nx=\pi \\
&\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx \cdot \cos nx=\pi \\
\end{align}

傅里叶级数的展开

周期为2pi

由教科书中给出的公式，对于周期为$2\pi$的函数，有如下展开方式：
\begin{equation}
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx+b_n\sin nx) \qquad (1)
\end{equation}
事实上上述公式可以写为$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(a_n \cos nx+b_n\sin nx)$$至于为什么是$\frac{a_0}{2}$而不是$a_0$，以后我们就会看到。现在计算$a_0,a_n,b_n$。
对(1)式两端做$[-\pi,\pi ]$的积分，
\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx&=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos nxdx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin nxdx \\
&=a_0\pi+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\int_{-\pi}^{\pi} \cos nxdx+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nxdx
\end{align}
由三角函数系正交可知$\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\cos nx=\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\sin nx=0$，故：
\begin{equation}
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx \qquad (2)
\end{equation}
对(1)式两端同乘$\cos mx$，然后做$[-\pi,\pi ]$的积分，由三角函数系正交可知，
\begin{align}
&\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos mxdx \\
&=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos mxdx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos nx\cos mxdx+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin nx\cos mxdx \\
&=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\int_{-\pi}^{\pi} \cos nx\cos mxdx+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mxdx\\
&=a_m\int_{-\pi}^{\pi}\cos nx \cdot \cos nx=a_m\pi
\end{align}
因此，
\begin{equation}
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx \qquad (3)
\end{equation}
(1)式两端同乘$\sin mx$，同理，
\begin{equation}
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx \qquad (4)
\end{equation}

周期为2l

对于周期为$2l$的函数，对(1)式做变换$$\frac{2\pi}{x}=\frac{2l}{t}\qquad x=\frac{\pi}{l}t$$
\begin{equation}
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos \frac{n\pi}{l}t+b_n\sin \frac{n\pi}{l}t) \qquad (5)
\end{equation}
令$T=2l$，可得，
\begin{equation}
a_0=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt \qquad (6)
\end{equation}
\begin{equation}
a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos \frac{n\pi}{l}tdt \qquad (7)
\end{equation}
\begin{equation}
b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin \frac{n\pi}{l}tdt \qquad (8)
\end{equation}

复数形式的傅里叶级数

这个时候，数学史上最优美的公式就要登场了，那就是欧拉公式，
\begin{equation}
e^{ix}=\cos x+i\sin x \qquad (9)
\end{equation}
由此可得：
\begin{equation}
\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \qquad (10)
\end{equation}
\begin{equation}
\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \qquad (11)
\end{equation}
将上式代入到(5)式，令$\omega=\frac{\pi}{l}$可得：
\begin{align}
f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}[(\frac{a_n}{2}(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t})-\frac{ib_n}{2}(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})] \nonumber\\
&=\frac{a_0}{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-ib_n)e^{in\omega t}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-ib_n)e^{-in\omega t} \nonumber\\
&=\frac{a_0}{2}e^{i0\omega t}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(a_n-ib_n)e^{in\omega t}+\frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{-1}(a_{-n}+ib_{-n})e^{in\omega t} \nonumber\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{in\omega t} \qquad (12)
\end{align}

\begin{align}
\frac{1}{2}(a_n-ib_n)&=\frac{1}{2}(\frac{2}{T}\int_0^Tf(t)\cos n\omega tdt-\frac{i}{2}\frac{2}{T}\int_0^Tf(t)\sin n\omega tdt)\\
&=\frac{1}{T}\int_0^T(\cos n\omega t-i\sin n\omega t)f(t)dt\\
&=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-in\omega t}dt
\end{align}
同理，
\begin{align}
\frac{1}{2}(a_{-n}+ib_{-n})&=\frac{1}{2}(\frac{2}{T}\int_0^Tf(t)\cos -n\omega tdt-\frac{i}{2}\frac{2}{T}\int_0^Tf(t)\sin -n\omega tdt)\\
&=\frac{1}{T}\int_0^T(\cos n\omega t-i\sin n\omega t)f(t)dt\\
&=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-in\omega t}dt
\end{align}
\begin{align}
\frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}\int_0^Tf{t}e^{-i0\omega t}dt
\end{align}
故
\begin{equation}
c_n=\frac{1}{T}\int_0^Tf(t)e^{-in\omega t}dt \qquad (13)
\end{equation}
这是也就能明白为什么是$\frac{a_0}{2}$而不是$a_0$，不得不说傅里叶，欧拉真是天才。

傅里叶变换

终于到了傅里叶变换，此前一系列推导都是建立在周期函数的基础上，此刻我们要将其扩展到非周期函数上。对于非周期函数，我们可以认为函数在无穷处重复，
$$\lim_{T\to \infty}f_Tt=f(t)$$
$$\Delta \omega =(n+1)\omega_0-n\omega_0=\omega_0=\frac{2\pi}{T}$$
回顾此前推得的公式
\begin{align}
f(t)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{in\omega_0 t} \qquad (14) \\
c_n&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dt \qquad (15)
\end{align}
将(15)式代入(14)式，
\begin{align}
f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dte^{in\omega_0 t}
\end{align}
我们认为$T \to \infty$时，
\begin{align}
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}dt&=\int_{-\infty}^{\infty}dt\\
n\omega_0&=\omega\\
\sum_{n=-\infty}^{\infty}\Delta \omega&=\int_{-\infty}^{\infty}d\omega
\end{align}
则，
\begin{align}
f(t)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{\Delta \omega}{2\pi}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-in\omega_0 t}dte^{in\omega_0 t}\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dte^{i\omega t}d\omega
\end{align}
于是我们便得到了傅里叶变换的一般公式：
\begin{align}
f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt \qquad (16) \\
f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(\omega)e^{i\omega t}d\omega \qquad (17)
\end{align}
在量子力学中我们还会经常看到这样的形式:
\begin{align}
f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\\
f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(\omega)e^{i\omega t}d\omega
\end{align}